밀레니엄 수학 7대 난제

P 대 NP문제 - 유일하게 컴퓨터와 관련된 문제

호지 추측 - 단순한 대상들로부터 복잡한 어떻게 구성할 수 있는가.

푸엥카레 추측 - 사과와 도넛을 구분하는 것에서 시작해 위상학의 핵심에 놓여진 문제

리만 가설 - 소수와 제타함수와의 밀접한 관련

양-밀스 이론과 질량 간극 가설 - 양자물리학에서 나온 ‘질량 간극 가설’의 수학적 입증

내비어-스톡스 방정식 - 유채와 기체의 흐름을 기술하는 편미분방정식

버츠와 스위너톤-다이어 추측 - 난해한 방정식들 중 한 유형에 대해 가능한 해에 관한 정보 제시

백양로를 걸어가는 학생들을 붙잡고 학창시절 가장 어려웠던 과목을 꼽으라면 아마 대부분 ‘수학’이라고 답할 것이다. 그 어려운 수학 중에서도 최고로 어렵다는 7백만 달러의 현상금이 걸린 ‘밀레니엄 수학 7대 난제’가 있다. 혹, 이 상금을 보고 먼지 쌓인 수학책을 다시 꺼내 들여다보고 싶은 생각이 들지는 않는가?

 ‘클레이 수학 연구소’는 지난 2000년 5월, 일곱 개의 미해결 수학 문제를 제시하고 각각에 1백만 달러의 현상금을 내걸었다. 공모 기간은 무기한이며, 문제를 풀고 국제 학술지에 게재된 후 2년 동안 검증과정을 거친 후에 오류가 없다고 판단되면 현상금을 지급한다.(각각의 문제는 표 참조)

일곱 개의 문제 가운데 비교적 이해하기가 쉽고, 창의적인 아이디어만 있으면 문제를 풀 가능성이 있는 것이 ‘P 대 NP 문제’다. 간단하게 말하면 ‘P문제’는 답을 구하기 쉬운 문제이고, ‘NP 문제’는 답이 주어지면 맞히기는 쉽지만 답을 구하기는 어려운 문제를 말한다. 그렇다면 ‘P’와 ‘NP’는 다른 것일까, 아니면 실은 ‘NP’가 ‘P’의 변형된 것으로 결국 같은 것일까?

예를 들어, 3607과 3803의 곱을 구하라고 하는 문제는 상당히 쉬운 문제다. 하지만 13,171,421이라는 숫자가 두 숫자의 곱으로 표시될 수 있다고 한다면 답을 쉽게 찾을 수 없을 것이다. 하지만 3607과 3803을 곱한 결과라고 말 해 준다면 단순히 계산기를 두들겨 보기만 해도 확인할 수 있다. 이 두 과정이 과연 같다고 볼 수 있는 것일까?

현재 기하서(이과대·해석학/수리논리)교수는 ‘리만 가설’을 증명하기 위해 8년째 연구 중이다. 기교수는 “나름대로의 접근 방법이 있는 다른 문제와는 달리 ‘리만 가설’은 정해진 접근 방법이 없고, 때문에 가장 큰 매력을 느낄 수 있는 문제”라며 자신이 도전하는 이유를 전했다.

이제 이러한 난제들이 지니고 있는 의미를 살펴보자. ‘푸엥카레 추측’이 해결된다면 위상학의 발전을 가져다 줄 것이므로 컴퓨터 칩을 비롯한 전자부품의 설계와 생산, 운송, 뇌 연구 등에 많은 영향을 끼칠 것이다. 그리고 ‘P 대 NP문제’의 경우에는 공업, 상업, 그리고 인터넷을 비롯한 전자 통신에 커다란 영향을 줄 것이며, ‘리만 가설’은 소수에 관해서 많은 것을 말해 주므로 그 가설의 증명으로 인수분해 기법을 발전시키는 과정에서 소수들의 패턴에 관한 새로운 지식을 함축하게 될 것이다. 이에 인터넷 보안과 현대 수학의 많은 부분이 바뀔 것으로 예상된다.

현재 ‘P대 NP 문제’의 해법을 제시하고 2년의 오류 지적 기간을 기다리고 있는 전북대 수리통계정보과학부 김양곤 교수는 “문제를 풀면서 이루 다 말할 수 없을 만큼 난관이나 걸림돌이 많았다”며 마음 고생이 심했던 당시를 회상했다. 하지만 그는 “진리가 모든 사람들에게 평등하다는 상아탑의 정신을 쉽사리 버리고 싶지 않다”며 자신의 도전에 자부심을 가지고 있었다.

“맞는 것 같지만 틀린 게 수학”이라는 기교수의 말처럼 ‘밀레니엄 수학 7대 난제’도 쉽게 실마리가 제공되지는 않을 것이다. 하지만 일곱 가지의 난제들이 수학계뿐만 아니라 우리 삶에 많은 파장을 몰고 올 것은 의심의 여지가 없다.